Algebra

Algebra dreier seg om generalisering av de vanlige operasjonene i aritmetikken. Det dreier seg om å se sammenhenger ut over det rent konkrete. For noen elever er dette «A Piece of Cake». De fatter umiddelbart poenget og forstår relevansen. For andre elever, derimot, er dette vanskelig, ubegripelig og uforståelig. Og noen får «algebrafobi». For å si som «Påsan» i «Pondus»: «Jeg spør igjen. HVORFOR er det bokstaver i matteoppgavene mine?» , «x-er og y-er er fåglarna vet hva», «Hallo! Matte er TALL» og «Jeg har SKJØNT at bokstavene i matteoppgavene har kommet for å bli, men jeg kommer aldri til å AKSEPTERE det.». (Se mattevitser her).

Så det å få elever til å forstå hva som er hensikten med algebra kan være vanskelig. Jeg har ingen patentløsning på hvordan en lærer kan få til dette. Her er det mange veier å gå. Elever har ulike læreforutsetninger, og hva som «treffer» for den enkelte kan variere. Ideelt sett burde man satt seg ned med den enkelte elev og finne ut hvor den enkelte elev «er», og ta det derfra. Dessverre er dette i praksis vanskelig å få til. En lærer må derfor prøve å finne fremgangsmåter som «treffer» de fleste når man forklarer algebra på gruppenivå. Det blir som å skyte med hagl, der man håper at mest mulig «treffer». Og det blir som å instruere alle elevene i å legge det samme puslespill på den samme måten. Det funker for noen, men kanskje ikke for alle.

Yngre barn

Her er et eksempel på hvordan yngre barn (ev. elever med lærevansker) funksjonelt kan forholde seg til algebra, selv om man (enda) ikke benytter seg av tallsymboler.

Man tegner først et kvadrat bestående av 4 mindre, identiske kvadrater (dvs. fra øverst til venstre til nederst til høyre) som jeg vil her kalle for a, b, c og d). Så legger man et likt objekt (som da i prinsippet kan være hva som helst, f.eks. en liten legobrikke) i hvert kvadrat og spør hvor mange objekter det til sammen er i henholdsvis a + c og b + d. Svaret blir alltid 2 objekter, noe man viser a + b og c + d. Noen barn vil da kanskje se at det her er logiske sammenhenger, at summer er uavhengig av både type konkret og retning for summering men bare av mengde. Noen vil kanskje også bli fascinert av denne «magien».

Så legger man i stedet 1 objekt på a og b og 2 objekter på c og d, og barnet oppdager at det da blir tilsammen 3 objekter på begge loddrett, og henholdsvis 2 og 4 objekter vannrett. Dette kan man leke med, se hva som skjer hvis det ikke er objekter på plassene osv.

Så sier man videre «Nå skal jeg gjøre noe spennende.» Man ber barnet (gruppen?) snu seg, og legger 1 objekt på plass a, 2 objekter på plass b, 2 objekter på plass c og 1 objekt på plass d, og 3 objekter under plass a og c og under plass b og d. Til slutt skjuler man hva som står på plass c og d. Barnet/gruppen skal så snu seg og gjette hva som ligger under plass c og d. Dette vil de fleste førskolebarn kunne mestre, hvis dette gjøres på en riktig måte. I realiteten er dette det samme som ligningen 1 + x = 2, altså en ligning med 1 ukjent. Men det kan være vanskelig å forstå for barn før skolestart, fordi det forutsetter at de forstår prinsippet med at tallsymboler kan representere mengder OG at bokstaver kan representere tall.

Denne øvelsen kan også utvides til 2 ukjente, ved å f.eks. diskutere hva som kan tenkes å ligge skjult på plass a og c når det ligger 2 objekter under plass a og c (alternative svar blir da 1 + 1, 2 + 0 eller 0 + 2), men dette er selvsagt mer krevende.

Etter skolestart

Jeg har ingen lærerutdannelse og har heller ikke praktisert som mattelærer. Jeg vil likevel prøve meg å lage noen eksempler på hvordan kanskje jeg ville gjort det hvis det skulle introdusere algebra for elever i grunnskolen, og håpe at dette vil være til nytte for leseren.

Noen elever blir spontant fascinert at det abstrakte og generelle ved matematikken, og det logiske og konsekvente systemet ved algebra med fokus på utregninger av ligninger. Disse behøver kanskje ikke å få algebraen inn «med teskjeer». Men alle elever er ikke slik. Noen trenger å gå sakte framover og hele tiden være «med» og forstå vitsen med det hele. Det er denne siste gruppen jeg her har i fokus.

Et godt læringsprinsipp for å forstå det generaliserte og abstrakte er å ta utgangspunkt i det kokrete (slik f.eks. Magne Nyborg har beskrevet dette med assosiering-diskriminering-generalisering, konsist språkbruk og variasjon i konkretiseringsmateriell). Og for at elever skal oppleve dette som relevant og kanskje til og med interessant, blir det å skape MENING også viktig.
Så for å få elever til å kunne forstå ikke bare elementær aritmetikk, men også kunne bevege seg over i generalisert aritmetikk - som algebra jo er – er mitt forslag at man da begynner med å lage og fortelle noen konkrete og forståelige historier knyttet til elementær aritmetikk og ut fra dette bevege seg over til algebraen. Men hvordan gi mening? Jeg kan tenke meg da å appellere til at eleven (1) får en visuell oversikt over det eleven holder på med, og (2) får et verktøy for å løse oppgaver raskere og enklere (for noen elever er det å appellere til «gjerrighet på tidsbruk og energibruk» relevant). Dette kommer da i tillegg til at eleven underveis i tillegg kanskje også blir fascinert av å oppdage de skjulte, men samtidig logiske, sammenhengene i aritmetikken som man finner i algebraen.

Her har jeg laget noen eksempler på historier som kan brukes for å kunne lære noen grunnleggende algebraiske prinsipper, med ett eksempel for hver lærdom.

Første lærdom: En bokstav kan står for noe annet enn bokstaven, for eksempel et ord. Dette kan gi bedre oversikt og gjøre at man sparer tid.

«Det var en gang en mann som var så glad i frukt og grønnsaker at han stadig måtte ta seg en tur i butikken. Men så skjedde det noen ganger at han enten kjøpte for lite, så han fikk ikke kjøpt den han ville ha. Og andre ganger kjøpte han mye, slik at frukten eller grønnsakene etter hvert ble gammel og råtten. Dessuten brukte han da mer penger enn det han da egentlig syntes var nødvendig. Han fant ut at han da måtte begynne å planlegge det han ville kjøpe så han slapp å stole på det han husket. Så til den neste dagen skrev han:

5 bananer, 4 epler, 7 pærer, 5 mandariner, 2 hodekål, 5 løk, 1 blomkål, 2 paprika, 1 aubergine

Og slik holdt han på noen dager. Så kom han på en idé:
Han kunne faktisk spare tid ved å skrive bare den første bokstaven (dessuten var det å skrive «aubergine» riktig var ikke alltid så lett).

Så da så handlelisten slik ut:
F: 5b, 4e, 7p, 5m.

G: 2h, 5l, 1b, 2p og 1a.

Ja, som du ser kjøpte han akkurat det samme hver dag. Og som du ser, så er frukten erstattet med en bokstav. Dessuten hadde han en bokstav for frukt (F) og en bokstav for grønnsaker (G), noe som var lurt, siden både bananer og brokkoli begynner på «b».

Andre lærdom: En bokstav kan også stå for et tall.

Det var ei jente som ville på kino. Selv hadde hun 10 kroner, men kinobilletten kostet 50 kroner. Hun spurte derfor sine foreldre om å låne penger så hun hadde råd til kinobilletten. Men hvor mye penger måtte hun da låne? Det var det mystiske x! Hun tenkte da følgende: 10 + x = 50. Og hun fant ut at hun måtte låne 40 kroner 

Tredje lærdom: Noen ganger kan bokstaven som erstatter et tall stå sammen med et annet tall.

En bonde hadde 20 sauer. Han ville kjøpe seg noen binger til disse sauene og mente at det bare var plass til 4 geiter i 1 binge. Hvor mange binger måtte han da kjøpe? Han tenkte da følgende: 4b = 20. Det mystiske b var da hvor mange binger det var. Han fant at b var 5. 

Fjerde lærdom: Hva ett tall skal bli, er noen ganger avhengig av hva et annet tall er.  

Den samme bonden fikk stadig flere sauer, så året etter hadde han 40 sauer. Men alle de gamle bingene var utslitte, så han måtte kjøpe alt på nytt. Da ble regnestykket slik: 4b = 40. Og han fant at b ble 10 binger.

Det tredje året hadde han 60 sauer, så da ble regnestykket slik: 4b = 60. Og han fant at b ble 15 binger.

Det fjerde året hadde han 80 sauer, så da ble regnestykket slik: 4b = 80. Og han fant at n ble 20 binger.

Da så han på det han hadde skrevet:

4b = 20   
4b = 40    b = 10
4b = 60    b = 15
4b = 80    b = 20

Og da oppdaget han at det var et system her, nemlig at b økte på samme måte som tallet til høyre for likhetstegnet. Og det var jo klart: Jo flere sauer, desto mere binger. Så b bestemte hele tiden hvor mye tallet til høyre for likhetstegnet skulle være. Dette kunne han skrive slik:
4b=s, der s hele tiden bestemte hvor mye b skulle være.
 

Femte lærdom: Hva som er avhengig av hva kan bytte plass.
 
Men da han så på 4b= s oppdaget han også noe annet. På samme måte som s hele tiden kunne bestemme hva b skulle være, så kunne også b bestemme hvor mye a skulle være. Og det jo klart: Hvor mange sauer bonden hadde bestemte hvor mange binger han kunne ha, og hvor mange binger hadde bestemte hvor mange sauer han hadde plass til.

 
Sjette lærdom. Mer enn to tall kan også byttes ut med bokstaver.

Men så tenkte han videre: Tenk om han kunne spare penger ved å la det være mer enn 4 sauer i hver binge? Kanskje han da ikke behøvde å kjøpe så mange binger? Først hadde han trodd at det ikke kunne være bra for sauene å være flere enn 4 i hver binge. Men hva hvis dyrlegen sa det også kunne være flere? Og han tenkte enda videre: Det finnes nok en grense for hvor mange sauer det er forsvarlig å ha i en binge? Hvor går da den grensen? Hvis han da fylte opp bingene «på grensen» kunne han ikke bare spare penger på å kjøpe færre binger. Han kunne tjene mere penger ved å ha flere sauer i hver binge! Dyrlegen fortalte da at det ikke kunne være mer enn 8 sauer i en binge. Da fant bonden ut at på 8b=s kunne han med 50 binger ha 400 sauer!
Så bonden endte opp med å skrive dette:

mb=s

Der m = hvor Mange sauer det er plass til i en binge,  b = hvor mange binger det er, og s = hvor mange sauer det er.

Bingo! Alle tall er blitt borte og erstattet med bokstaver. Men det gir fortsatt mening.

Med slike fortellinger kan man «leke» seg videre med ukjente størrelser og uavhengige og avhengige variabler på en måte som ikke lenger gjør det «farlig» å erstatte tall med bokstaver.  

Til slutt en liten, tilsynelatende enkel, praktisk oppgave som jeg tror mange elever lettere finner løsningen på via algebra enn ved å tenke intuitivt:

En pølse med brød koster 25 kroner. Pølsa koster 20 kroner mer enn brødet. Hva koster brødet?

                       Copyright (c) 2020 Kjell Totland Psykologtjenester 

Nyeste kommentarer